Matemática en todos lados

¡Un matemático ahí, por favor!

Adrián Paenza suele decir que la matemática está en todos lados, en todos los momentos. Publicó docenas de textos con experiencias mundanas que así lo demuestran. Aquí dos de su último libro.


La población de Francia en 1783

Quiero empezar haciendo referencia a un artículo que escribí hace casi 15 años: “¿Cómo estimar el número de peces en una laguna?”. Uno de los mayores déficits que tienen nuestros sistemas educativos, cuando se habla de matemática al menos, es que no se nos enseña a estimar. Sí. A estimar.

Eso sirve, en principio, para aprender a desarrollar el sentido común. ¿Cuántas manzanas tiene una ciudad? ¿Cuántas hojas puede tener un árbol? ¿Cuántos días vive en promedio una persona? ¿Cuántos ladrillos hacen falta para construir un edificio? ¿Cuántas personas hay en una manifestación? ¿Cuántas películas uno vio en su vida? ¿Cuántos árboles hay en una cuadra? ¿Y en un parque?

Quiero empezar con un problema que es muy específico pero usted verá, si sigue leyendo, que tiene (y tuvo) aplicaciones inesperadas. Acompáñeme por acá. Suponga que usted está cerca de una laguna. En general, uno suele ver gente pescando en una laguna y una pregunta razonable sería tratar de estimar el número de peces que viven allí.

¿Cómo hacer? ¿Cómo elaborar una estrategia para hacerlo? Una vez más, me apuro a escribir que estimar no es contar. Se trata de poder adquirir una idea de lo que hay. Por ejemplo, uno podría conjeturar que en la laguna hay mil peces o que hay millones de peces. Obviamente, no es lo mismo. Pero ¿cómo hacer para aproximarse a la solución?

Aquí es donde quiero hacer una reflexión junto a usted. Supongamos que uno consigue una red que pide prestada a unos pescadores. Con esa red, nos proponemos atrapar mil peces, y cuando escribo atrapar, quiero que los capturemos pero no quiero matarlos. La idea será devolverlos al agua tan rápido como nos sea posible, pero antes los vamos a pintar con un color y pigmento de manera tal que no se borre con el agua. Naturalmente, cualquier procedimiento que preserve la marca será equivalente. Para fijar las ideas, digamos que logramos ponerles a todos una marca de color amarillo.Los devolvemos al agua y esperamos un tiempo razonable. Usted se preguntará: ¿qué quiere decir razonable? Bueno, razonable implicará que les daremos suficiente tiempo como para que vuelvan a mezclarse con todos los peces que quedaron sin pintar, o sea, con el resto de los que habitan la laguna. Una vez que estamos seguros, volvemos a usar el mismo método anterior (con la red, por ejemplo) y capturamos mil peces otra vez. Queda claro que algunos de los peces que obtenemos ahora estarán pintados y otros no. Supongamos, siempre a los efectos de hacer las cuentas más fáciles, que entre los mil que acabamos de pescar ahora, aparecen solo diez pintados de amarillo.

De este hecho, uno podría inferir lo siguiente: cada mil peces que viven en la laguna hay diez que están pintados de amarillo, es decir, uno de cada cien. Si bien no sabemos cuántos peces hay en la laguna, sabemos que el 1% está pintado de amarillo. Como en total hay mil amarillos, ¿cuántos peces tendría que haber para que el 1% de ese total sea mil? Creo que no se le escapa que esto es —ni más ni menos— lo que en el colegio llamábamos ‘regla de tres simple’ o ‘extrapolación lineal’. La respuesta entonces es: “Uno puede estimar que en la laguna en total hay aproximadamente cien mil peces” (fíjese que mil, es el 1% de cien mil, tal como era esperable).

Este método obviamente no es exacto (ni mucho menos), pero si bien no provee una certeza ofrece una idea, una estimación. Ante la imposibilidad de contar todos los peces que hay, es preferible tener un número con el que uno se pueda sentir cómodo y este método permite encontrarlo.

Ahora bien: ¿por qué incluí esta forma de estimar que incluso parece tan primitiva? Este método, aunque parezca poco creíble, fue utilizado por uno de los mejores matemáticos de la historia: Pierre-Simon Laplace.

Las contribuciones de Laplace son realmente extraordinarias, no solo en matemática —en particular en el área de probabilidades y la popularización del famoso teorema de Bayes— sino también en astronomía, física y en aplicaciones que parecían imposibles en el momento que las propuso. Pero quiero aprovechar el ejemplo anterior, el de la estimación de cuántos peces hay una laguna, para mostrar lo que hizo Laplace para estimar ¡la población de Francia en 1783!

Obviamente, el método que usamos hoy (censar) era impracticable en ese momento del siglo XVIII. El procedimiento que describí antes se llama ‘captura-recaptura’. Es muy sencillo, pero requiere de muestras suficientemente grandes y elegidas al azar (que es un dato no menor). Es decir, importa mucho el tamaño de la muestra y la aleatoriedad. En ese caso, los resultados que se obtienen son verdaderamente notables.

En el caso de la población de Francia, fue necesario tomar dos conjuntos de personas, una después de la otra, teniendo cuidado de ‘marcar’ a los integrantes de la primera muestra de manera tal de que sean fácilmente reconocibles o distinguibles dentro del grupo que termine integrando la segunda muestra. Por otro lado, usado de esta forma tan sencilla, es necesario suponer que la población que uno quiere estimar no se modificará sustancialmente en el tiempo entre la toma de la primera y la segunda muestra. Por otro lado, es imprescindible que las personas elegidas tengan la misma probabilidad de ser seleccionadas en cualquiera de las dos muestras.

Lo que hizo Laplace fue lo siguiente. ¿Cómo elegir y después marcar a las personas que formarían parte de la primera muestra? En ese momento en Francia, si bien no existían los censos, cada comunidad/pueblo registraba el número de bebés que nacían cada año. Justamente los bebés fueron los integrantes de la primera muestra. Para mejorar la precisión, Laplace promedió el número de nacimientos que se produjeron en Francia durante los dos años que precedieron a la publicación (1783).

El dato que utilizó Laplace fue el siguiente: 973.054,5 bebés. Sí, aunque parezca ridículo, a los efectos de hacer las cuentas con la mayor precisión posible, incluyó al medio bebé porque eso fue lo que le dio el promedio. Para poder encontrar la población total necesitaba estimar la proporción que había entre los bebés recién nacidos y la población en general, y esa proporción es la que daría origen a la segunda muestra que necesitaba.

Si bien no todas las comunidades o poblaciones tenían los datos que él requería, había ‘intendentes’ (por llamarlos de alguna manera) que no solo registraban las poblaciones de cada uno de sus ‘condados’, sino que también anotaban los nacimientos y las muertes que se habían producido en ese año particular. ¡Y ese era el dato que Laplace necesitaba! Esa era la proporción que estaba buscando. Con la colaboración de varias personas, logró juntar los datos de todas esas comunidades. Promedió las proporciones entre la población total y los nacimientos tratando de minimizar los errores que se pudieran producir. No los eliminaba, ciertamente, pero los optimizaba, teniendo en cuenta que diferentes regiones producían números que no parecían ‘aceptables’, algunos incluso de un año a otro. Pero lo que me importa señalar acá, es que el número al que llegó Laplace fue el siguiente: ¡un nacimiento por cada 26 personas! En consecuencia, una población con 52 personas tendría (en promedio) dos nacimientos por año: una comunidad de 104 personas, tendría cuatro nacimientos anuales.

En este punto, Laplace tuvo que aceptar la misma suposición que nosotros en el caso de los peces en la laguna: la población no cambiaría sustancialmente entre la extracción de la primera y la segunda muestra, asumiendo que los nacimientos y muertes serían equivalentes, y lo mismo con respecto a las proporciones.

Tuvo que aceptar o incluir algo más entre sus hipótesis (ciertamente esto ya no es ni era verificable): que los números de nacimientos y muertes se mantendrían constantes a lo largo de las diferentes regiones francesas. Claramente, de todas las suposiciones que tuvo que hacer, esta fue la más ‘opinable’ y de difícil comprobación, pero necesitó usarla porque, si no, no hubiera podido llegar a ninguna conclusión. A partir de acá, el resto es sencillo. Le alcanzó con multiplicar 973.045,5 por 26 y eso le dio el tamaño de la población que estaba buscando. El número al que llegó: 25.299.417 habitantes. No crea que se me escapa que hay múltiples ‘concesiones’ y acuerdos que Laplace tuvo que hacer en el transcurso de la estimación; lo mismo sucede en el caso de los peces en la laguna.

Claramente, uno podría usar este método de ‘captura-recaptura’ para estimar el número de ballenas en una región específica o evaluar la cantidad de palomas en la ciudad de Montevideo. O determinar el número de personas que consumen algún tipo de droga (cocaína, por ejemplo), o de personas diabéticas en un determinado país. Los métodos que se usan hoy son mucho más sofisticados y las estimaciones, mucho más eficientes; pero, conceptualmente, todas se basan en las ideas expuestas en este capítulo. En definitiva, el problema reside en la recolección de los datos y no en la sofisticación de la matemática necesaria. Aprender a usar una ‘regla de tres simple’ o ‘extrapolar linealmente’ no deja de ser algo que uno aprende en la escuela primaria, ¿no es así?

Messi y Ronaldo

Los dos tratan de evitarse, pero hay momentos en los que no pueden, ya sea porque están en una misma cancha (el Camp Nou en Barcelona, o el Allianz Stadium, donde la Juventus juega sus partidos de ‘local’) o porque son candidatos a recibir el trofeo anual que se otorga al Mejor Jugador del Mundo. Pero más allá de circunstancias de este tipo, han coincidido muy poco geográfica y temporalmente.  Sin embargo, hace unos días se encontraron. Y allí se produjo la siguiente situación que no ha tenido la trascendencia que merecía.

A cada uno le dieron un juego de cinco cartas numeradas del 1 al 5. Les vendaron los ojos y les pidieron que seleccionaran una cualquiera de las cinco que tenían en la mano y las pusieran arriba de una mesa.

La persona que estaba con ellos hizo la suma de los dos números y se la comunicó únicamente a Messi. Después, multiplicó los números y le dijo el resultado solo a Ronaldo.

El señor guardó las dos cartas en un bolsillo evitando que los jugadores pudieran verlas y les pidió también que le entregaran las cuatro que le quedaban a cada uno y las escondió en un cajón. Allí fue donde se produjo el siguiente diálogo:

Ronaldo: Con el número que escuché yo, no puedo saber cuáles son las dos cartas.

Messi: ¡Ah, qué curioso! Si vos no podés deducirlos, entonces yo sí sé cuáles fueron los dos números de las cartas que elegimos.

Ronaldo: Tú sabrás, pero yo sigo sin saber cuáles son.

Messi: Dejame que te ayude: el número que me dijeron a mí es mayor que el que te dijeron a vos.

Ronaldo: Gracias. Ahora yo también sé cuáles fueron los números.

Pregunta: ¿qué números eligieron? Fíjese que no le pido que diga qué carta eligió cada uno, sino que solo importa saber qué números aparecieron arriba de la mesa.

Ahora le toca a usted.

Le propongo que siga mi argumento, pero en realidad, a medida que va leyendo, si detecta un posible camino, abandone la lectura y siga usted por su cuenta. Ya verá por qué escribo estas líneas.

Tanto Messi como Ronaldo tuvieron que elegir un número entre 1 y 5. Quiero escribir cuáles pudieron haber sido las posibles sumas y los posibles productos de los dos números.  Primero, analicemos las posibles sumas. ¿Qué números pudo haber escuchado Messi? Debió ser uno de estos números: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

¿Por qué? ¿Por qué no pudo haber escuchado el número 1? Como cada uno tuvo que haber aportado un número positivo a la suma y el más chico que tenían era justamente 1, la suma de los dos no puede ser más chica que 2. Con el mismo argumento es fácil convencerse de que el máximo número que pudo haber escuchado Messi es 10, ya que los dos más grandes que tenía cada uno eran 5.

Los demás números posibles (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) son combinaciones que usted puede deducir por su lado.

Ahora, acompáñeme con los posibles productos. Fíjese si está de acuerdo conmigo. Los números 1, 2, 3, 4, 5 se pueden obtener fácilmente. El 6 aparece como producto de 2 y 3. Pero acá quiero detenerme un instante y preguntarle: ¿se puede obtener el 7? La respuesta es no, no se puede. Sin embargo, sí hay formas de obtener 8, 9, 10. ¿Y el 11? ¿Se puede? No, tampoco. ¿Y el 12? Sí: 3x4.

Sigo: no se pueden obtener 13 ni 14, pero sí 15 (3x5) y 16 (4 x4). Luego no se pueden 17, 18, 19, pero sí 20 (4x5). ¿Cuál sigue? (¿no quiere pensar usted por su lado?). El último, el único que falta es el 25, ya que 25=5x5, o sea, si los dos eligieron el número más grande que tenían en las cartas.

En resumen, los posibles productos son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 20, 25.

¿Cómo seguir? Piense que Ronaldo empezó el diálogo diciendo que él no podía saber. ¿Qué tuvo que haber pasado para que él no pudiera deducir los números?  Fíjese que si Ronaldo hubiera escuchado (por ejemplo) el 1, él habría sabido instantáneamente que los dos habían elegido el 1. Si hubiera escuchado el 20, que los números fueron 4 y 5. Pero dijo que no podía saber. ¿Qué tuvo que haber pasado entonces? El portugués tuvo que haber escuchado algún número que se puede obtener de varias formas, algo que no sucede ni con el 1 ni con el 20. ¿Cuáles son esos números? Vayamos analizando uno por uno:

1 = 1x1          2 = 1x2          

3 = 1x3           4 = 2x2 y 1x4

Y acá me quiero detener un momento. Si Ronaldo hubiera escuchado 1, 2 ó 3, él sabría qué números había arriba de la mesa. Si escuchó 4, no, porque podrían ser (2 y 2) o (1 y 4). Sigamos.

5 = 1 X  5                    6 = 2 X 3

8 = 2 X 4                     9 = 3 X 3

10 = 2 X 5                   12 = 3 X 4

15 = 3 X 5                   16 = 4 X 4

25 = 5 X 5

Es decir, ¡el único número que pudo haber escuchado Ronaldo fue el 4! Con cualquier otro, habría podido deducir cuáles fueron los que aparecían arriba de la mesa. ¿Qué pasó después? Cuando Ronaldo dijo que él no podía saber, Messi supo que Ronaldo escuchó un 4, y que los números que pudieron haber salido eran (2 y 2) o (1 y 4).

Pero me imagino que usted debe estar pensando: ¡todavía no usamos el dato que le dieron a Messi! Cuando él dice en su primera observación: “Ah, si vos no sabés entonces yo sí sé”, es porque no sólo dedujo que Ronaldo escuchó 4, sino que con el número que escuchó (Messi), él podía decidir lo que Ronaldo no podía. Si él había escuchado 4, es porque los dos habían elegido un 2, pero si él escuchó 5, es porque los números tuvieron que haber sido (1 y 4). En cualquiera de los dos casos Messi puede deducir cuáles fueron los números.

Hasta acá, se entiende perfectamente por qué Messi dijo que él podía deducir cuáles eran los dos números. Como Ronaldo dice que él todavía no sabe, Messi le ofrece su ayuda: “El número que me dijeron a mí es mayor que el que te dijeron a vos”. Como Ronaldo sabe que Messi solo pudo haber escuchado 4 o 5, y Messi le dice que el número de él es más grande, eso termina por definir la situación y le indica a Ronaldo que los números fueron 1 y 4, y por eso Messi escuchó un número mayor que él.

Es decir, en ese momento, los dos saben lo que pasó: uno de los dos eligió el 1 y el otro, el 4. No sabemos cuál aportó cada uno, pero sí que los números tuvieron que haber sido esos dos. Listo. El problema concluye acá. Pero me interesa hacer una última observación (aunque me imagino que no se le escapa, igualmente quiero escribirla). El diálogo que figura en este texto es ficticio: un invento mío. Al menos, hasta donde yo sé. Lo más importante es que el problema no solo no es ficticio sino que fue incluido en un examen para niñas/os menores de 11 años en una prueba de calificación que se hizo en Singapur. Pero de ese tema prefiero ocuparme en otro momento.

A partir de ahora, termina la cadena nacional. Cada una de las emisoras continúa con sus respectivos programas.« (TiempoAr)